Алгоритм Евклида и его реализация на разных языках

Алгоритм Евклида

Python

Pascal:

Данная статья не подлежит комментированию, поскольку её автор ещё не является полноправным участником сообщества. Вы сможете связаться с автором только после того, как он получит приглашение от кого-либо из участников сообщества. До этого момента его username будет скрыт псевдонимом.

• 18 марта 2021 в 11:16 Selenium python как сохранить данные сессии и установить кастомный путь до профиля Chrome
• 18 марта 2021 в 01:19 Viber Bot на Python
• 4 апреля 2021 в 21:45 Кортежи (tuple) в C#
• 5 апреля 2021 в 01:22 Доказательство 5-го постулата Евклида
• 8 апреля 2021 в 17:09 Обработка и анализ текстов на Python и Spark NLP

Это «Песочница» — раздел, в который попадают дебютные посты пользователей, желающих стать полноправными участниками сообщества.

Если у вас есть приглашение, отправьте его автору понравившейся публикации — тогда её смогут прочитать и обсудить все остальные пользователи Хабра.

Чтобы исключить предвзятость при оценке, все публикации анонимны, псевдонимы показываются случайным образом.

Не надо пропускать:

• рекламные и PR-публикации
• вопросы и просьбы (для них есть Хабр Q&A);
• вакансии (используйте Хабр Карьеру)
• статьи, ранее опубликованные на других сайтах;
• статьи без правильно расставленных знаков препинания, со смайликами, с обилием восклицательных знаков, неоправданным выделением слов и предложений и другим неуместным форматированием текста;
• жалобы на компании и предоставляемые услуги;
• низкокачественные переводы;
• куски программного кода без пояснений;
• односложные статьи;
• статьи, слабо относящиеся к или не относящиеся к ней вовсе.

Алгоритм Евклида на C#

Сегодня разберём древний и красивый Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, и запрограммируем его на языке C#.

Евклид — древнегреческий учёный, философ, математик, живший в 3 веке до н. э.

Где применяется алгоритм Евклида ?

Алгоритм Евклида — Эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел.

Например, для чисел 12 и 8 наибольший общий делитель (НОД) равен 4.

Алгоритм Евклида (метод вычитания)

Основное правило Алгоритма Евклида для метода вычитания:

Т.е. можно заменить большее число — разностью двух чисел, и НОД останется тем же.

Сначала вводятся числа m, n. Затем входим в цикл. Цикл выполняется пока m и n не равны. Если эти переменные равны, то можно выйти из цикла и распечатать любое число (m или n). Действительно, ведь наибольший общий делитель (НОД) двух одинаковых чисел равен этому числу. В самом цикле заменяем наибольшее число разностью этих чисел, исходя из закономерности описанной выше. Рано или поздно числа станут равными, и это значение и будет НОД.

Запрограммируем Алгоритм Евклида на языке C#

Алгоритм Евклида (метод деления)

Можно алгоритм Евклида написать и через остаток от деления!

Где символ % — это остаток от деления.

Запрограммируем метод деления Алгоритма Евклида на C#

На этом всё, удачи!

Разработка windows приложения нахождения нод двух целых чисел с помощью алгоритма евклида

Алгоритм Евклида может быть использован для эффективного вычисления наибольшего общего делителя (НОД) для двух целых значений. Эта статья описывает алгоритм и предоставляет несколько методов C #, которые вычисляют НОД.

Наибольший общий делитель

Алгоритм Евклида представляет собой алгоритм, описанный греческим математиком Евклидом Александрийским. Алгоритм пытается вычислить наибольший общий делитель (НОД) двух сколь угодно больших целых чисел; НОД является наибольшим целым числом, которое может разделять два значения без остатка. Алгоритм использует тот факт, что, когда два числа делят общий делитель, вычитание меньшего числа из большего дает результат, который также разделяет общий делитель.

В качестве примера рассмотрим значения 320 и 120. НОД этих двух чисел — 40. Если процесс вычитания меньшего числа из большего числа повторяется, со временем одно из значений станет нулевым. В этот момент другое значение будет содержать НОД для исходной пары. Этот итерационный процесс для наших значений примера дает следующие результаты:

Окончательный расчет дает нулевой результат, который оставил бы два значения 40 и ноль. Следовательно, НОД — это значение 40.

Реализация алгоритма Евклида

Для первой реализации алгоритма мы будем непосредственно следовать шагам, описанным выше. Мы создадим статический метод, который имеет два целочисленных параметра и возвращает третье целое число, являющееся НОД. Метод статичен, поэтому его можно легко вызвать из метода Main приложения консоли без создания экземпляров объектов. Вы можете решить реализовать его как метод экземпляра для своего собственного проекта.

Метод состоит из нескольких этапов. Сначала создается цикл while, который будет продолжать обработку до тех пор, пока одно из значений не будет сведено к нулю. Внутри цикла меньшее из двух значений вычитается из большего. Как только цикл завершился, одно значение будет равно нулю, а другое будет содержать НОД. Возврат НОД осуществляется путем нахождения большего из двух значений.

Примечание: Код в этой статье предполагает, что оба целых числа положительны.

Чтобы создать метод, добавьте следующий код:

Чтобы проверить метод, попробуйте выполнить следующую команду. Это находит НОД 322328 и 122120. Результат должен быть равен 344.

Нахождение НОД с использованием оператора модуля

Число итераций цикла в предыдущем примере кода может быть огромным. Если одно из двух значений намного больше другого, либо в начале процесса, либо позже, когда значения падают, одно и то же значение может быть вычтено много раз. Мы можем уменьшить число итераций, используя оператор модуля. Применение оператора модуля к двум значениям и замена большего значения результата приводит к одновременному применению нескольких вычитаний. Например, если два значения равны десяти и трем, три будут вычитаться три раза, чтобы уменьшить десять к одному. Используя модуль, мы получаем единицу в единственной итерации, как 10% 3 = 1.

Если результат модуля равен нулю, то найден НОД.

Нахождение НОД с использованием рекурсии

В окончательной версии алгоритма Евклида для получения результата используется рекурсия. Это полезно при использовании функциональных языков программирования, таких как F#. Тем не менее, я опишу его здесь, используя C# для полноты картины.

Рекурсивный метод имеет два возможных результата. Если второе значение равно нулю, первое значение будет НОД и будет возвращено. Если второе значение не равно нулю, метод вызывается снова. Новый вызов передает второе значение, которое предполагается меньшим числом, и модуль первого и второго целых чисел. Каждый вызов постепенно снижает значения до тех пор, пока не будет найден НОД. Обратите внимание, что, хотя второе значение предполагается меньшим, его может не быть. Если второе целое больше первого, первоначальный вызов заменит значения.

Автор этого материала — я — Пахолков Юрий. Я оказываю услуги по написанию программ на языках Java, C++, C# (а также консультирую по ним) и созданию сайтов. Работаю с сайтами на CMS OpenCart, WordPress, ModX и самописными. Кроме этого, работаю напрямую с JavaScript, PHP, CSS, HTML — то есть могу доработать ваш сайт или помочь с веб-программированием. Пишите сюда.

заметки, си шарп, алгоритмы

Алгоритм Евклида и его реализация на разных языках

Алгоритм Евклида

Python

Pascal:

Данная статья не подлежит комментированию, поскольку её автор ещё не является полноправным участником сообщества. Вы сможете связаться с автором только после того, как он получит приглашение от кого-либо из участников сообщества. До этого момента его username будет скрыт псевдонимом.

• 18 марта 2021 в 11:16 Selenium python как сохранить данные сессии и установить кастомный путь до профиля Chrome
• 18 марта 2021 в 01:19 Viber Bot на Python
• 4 апреля 2021 в 21:45 Кортежи (tuple) в C#
• 5 апреля 2021 в 01:22 Доказательство 5-го постулата Евклида
• 8 апреля 2021 в 17:09 Обработка и анализ текстов на Python и Spark NLP

Это «Песочница» — раздел, в который попадают дебютные посты пользователей, желающих стать полноправными участниками сообщества.

Если у вас есть приглашение, отправьте его автору понравившейся публикации — тогда её смогут прочитать и обсудить все остальные пользователи Хабра.

Чтобы исключить предвзятость при оценке, все публикации анонимны, псевдонимы показываются случайным образом.

Не надо пропускать:

• рекламные и PR-публикации
• вопросы и просьбы (для них есть Хабр Q&A);
• вакансии (используйте Хабр Карьеру)
• статьи, ранее опубликованные на других сайтах;
• статьи без правильно расставленных знаков препинания, со смайликами, с обилием восклицательных знаков, неоправданным выделением слов и предложений и другим неуместным форматированием текста;
• жалобы на компании и предоставляемые услуги;
• низкокачественные переводы;
• куски программного кода без пояснений;
• односложные статьи;
• статьи, слабо относящиеся к или не относящиеся к ней вовсе.

Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель.

Когда говорят «число делиться», то имеют в виду, что оно делиться без остатка. Так A делиться на B, лишь в том случае, если остаток от их деления равен нулю. На этом свойстве основывается понятие наибольшего общего делителя (НОД). НОД двух чисел — это наибольший из всех их общих делителей.

Одним из простейших алгоритмов нахождения наибольшего общего делителя является Алгоритм Евклида. Он назван в честь известного древнегреческого математика, автора первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике – Евклида Александрийского. Выделяют два способа реализации алгоритма: методом деления и методом вычитания. Рассмотрим отдельно каждый из них.

Алгоритм Евклида вычитанием.

Найти НОД двух целых чисел немного проще используя операцию вычитания. Для этого потребуется следовать такому условию: если A=B, то НОД найден и он равен одному из чисел, иначе необходимо большее из двух чисел заменить разностью его и меньшего.

Блок-схема Алгоритма Евклида вычитанием:

Оперируя данной блок-схемой – составляя по ней программный код, вполне целесообразно включить в него оператор цикла с вложенным условным оператором ветвления, имеющим две ветви.

Код программы на C++ (вычитание):

Код программы на Pascal (вычитание):

Алгоритм Евклида делением.

Второй способ отличается от первого тем, что в основной части программы операция вычитания заменяется на операцию деления, а точнее на взятие остатка от деления большого числа на меньшее. Этот способ предпочтительнее предыдущего, так как он в большинстве случаев эффективнее, требует меньше времени. На конкретных примерах продемонстрируем работу каждого из видов реализации алгоритма.

Начнем с того, в основе которого лежит операция взятия остатка от деления. Имеем два числа: 112 и 32. Первое больше второго – заменим его остатком от деления 112 на 32. Новая пара чисел включает 16 и 32. Второе больше, поэтому также заменим его остатком от деления 32 на 16, т. е. нулем. В результате получаем НОД=16. Таблично это выглядит так:

А теперь составим с теми же числами таблицу для алгоритма вычитанием.

Приведенный пример продемонстрировал, как в частном случае, предпочтя деление (взятие остатка от деления) вычитанию, можно выиграть в быстродействии. Преимущество деления становится видно наиболее отчетливо после следующих рассуждений. Предположим, что A меньше B, а так как НОД двух целых чисел меньше или равен наименьшему из них, то и тут он меньше или равен A; поэтому оптимальным будет уже при первой операции заменить B числом меньшим или равным A.

Далее, известно, что в одном случае большее число заменяется разностью его и меньшего числа, а в другом остатком от деления. При делении B на A (большее на меньшее), остаток не может превышать число, стоящее в знаменателе (т. е. A), следовательно, взятие остатка от деления гарантирует оптимальный исход. Но то же самое нельзя сказать в отношении операции вычитания, поскольку совсем необязательно, что сразу после выполнения первого вычитания, B станет меньше или равно A. К примеру, пусть A будет равняться 150, а B – 1100. Так, используя вычитание, мы в первом действии получим B равное 950, в то время как метод деления даст 50.

Блок-схема алгоритма Евклида делением:

За исключением условия выхода из цикла и операций в выражениях, эта блок-схема аналогична предыдущей. Достаточно то условие, при котором тело цикла будет выполняться до тех пор, пока обе переменных имеют значения отличные от нуля, поскольку, когда условие перестанет быть истинным, то из этого последует, что одно из теперешних значений является искомым наибольшим общим делителем. Да и потом, никак нельзя допустить следующей итерации, в которой будет предпринята попытка деления на нуль.